La relation amoureuse vue par un matheux,

Dans le texte, nous utiliserons le symbole € à la place du symbole mathématique d'appartenance parce que ce symbole mathématique existe bien dans l'unicode (code hexa 2208 ou ∈ en HTML) mais n'est pas représenté sur nos claviers de PC. Il ne faut pas y voir une corrélation entre "amour" et "argent".

Modélisation:

Soit H l'ensemble des êtres humains.
Soit P = H x H c'est à dire l'ensemble des paires {a,b} d'humains.
Soir A = { (a,b) tel que {a,b} € P et il existe une relation amoureuse de a vers b }
En pratique, A est l'ensemble des "couples" de deux personnes.
Nous supposerons donc que a est différent de b, bien que ...

Il est évident que l'ensemble A varie dans le temps. Il y a les coups de foudre, les séparations, les décès ... Nous nommerons donc At l'ensemble A au moment t.

Question 1: Quel est la proportion de couples (a,b) € At tel que (b,a) € At.

En langage courant cela revient à se demander si il est fréquent ou rare qu'une relation amoureuse soit réciproque ? Je n'ai pas de réponse précise mais je suis assez pessimiste sur la quantification de ce sous-ensemble de At.

Question 2: Quel est la persistance d'un couple.

Soit t' >= t, demandons nous qu'elle est la probabilité que si (a,b) € At alors (a,b) € At'  ?
Autrement dit, est-ce que a qui aimait b au moment t aimera toujours b au moment t' ?
Il y a deux évidences qui permettent d'établir les limites de cette probabilité:
               1)  Si t' = t + 1000 ans alors la probabilité est nulle (0 %).
               2)  Si t' = t alors la probabilité est 1 (100 %).
Par contre, difficile d'établir l'évolution de cette probabilité en fonction de l'éloignement entre t et t'.
J'énoncerais quand même la conjecture suivante: cette probabilité diminue dans le temps pour passer de 1 à 0. L'amour ne serait donc pas binaire !

Application 1: déclaration amoureuse simplifié.

Grâce à cette modélisation, une déclaration amoureuse peut se ramener à la formulation suivante:

Dès l'instant t où je t'ai vu(e), le couple (moi,toi) est entré dans At.
Puis-je espérer qu'il existera un instant t' pas trop éloigné de t tel que le couple (toi,moi) entrera également dans At' ?

Remarque: ceci donne tout son sens à l'expression "faire du rentre dedans".

Application 2: dire "je t'aimerai toujours" de façon rigoureuse.

Mon amour, je puis t'affirmer que le couple (moi,toi) restera dans At' quel que soit t' > t et t' < t'' avec t'' l'instant où l'un de nous deux décèdera.